1. HYPOTHÈSES

Notre première idée était d'utiliser les impressionnantes capacités de l'outil logiciel de calcul formel pour motiver les élèves à exercer leurs capacités de découverte, de recherche.
Comme le dit David R Stoutemeyer, l'un des créateurs de m MATH : "Les systèmes de calcul symbolique sur ordinateur permettent maintenant des traitement si rapides et si impeccables d'exemples non triviaux, qu'il devient facile de chercher des modèles qui puissent suggérer des conjectures ou des généralisations, puis de chercher des contre-exemples ou des preuves assistées par ordinateur. Par leur capacité de traiter rapidement des exercices qui étaient impraticables à la main, ces systèmes nous permettent d'aller à l'aventure plus profondément et plus loin, en suivant notre curiosité attirée par des particularités du paysage que seuls de vastes exemples révèlent."

Puis nous avons tenté de préciser les conditions d'utilisation dans une classe de lycée.

Nous sommes partis de quelques constats assez généralezment partagés sur la pratique des élèves en situation de recherche de problème :

- l'élève décide de vérifier un résultat en comparant le coût qu'a pour lui cette vérification, et le gain de confiance dans le résultat qu'elle va procurer (quelquefois l'élève ne sera pas plus sûr des calculs que nécessite la vérification que des calculs à vérifier) ;

- lorsque le calcul local pose problème à l'élève, toute son attention se mobilise sur sa réussite et il perd la perspective du problème global dans lequel s'insérait ce calcul (exemple : le calcul de la dérivée dans l'étude d'une fonction).

Nous avons fait, alors, l'hypothèse qu'utiliser un logiciel de calcul formel dans la recherche de problèmes, en libérant les élèves des activités de calcul (dévolues au logiciel) devrait permettre à l'élève de centrer son activité sur la stratégie de recherche, et en particulier :

- d'utiliser puis s'approprier une gamme d'heuristiques variées : essais ordonnés, recherche de régularités, fabrication de contre exemples ... ;
- de mettre en place un meilleur contrôle de la recherche : organisation de vérifications, retours en arrière ... ;
- de garder comme guide de la recherche le but du problème posé.

Après l'énoncé des grands principes, nous avons tenté une modeste préexpérimentation.

La recherche s'est déroulée dans une classe de Première série S de 33 élèves, en décembre 1991. La partie du programme de Première relative aux polynômes, et en particulier la factorisation par
x - a) , avait déjà été traitée.

Les élèves avaient eu l'occasion de se familiariser avec le logiciel DERIVE, lors d'une première séance d'une heure, dix jours avant.
Etant donné son effectif, la classe a été divisée en deux groupes et chacun des groupes est passé à son tour dans la salle d'informatique sur les 8 compatibles PC ( donc deux élèves par machine), pendant que l'autre groupe de son côté travaillait sur un autre sujet (les vecteurs) dans la salle contigüe. Autrement dit la séance de recherche de problème a duré environ une heure pour chacun des groupes de 16 élèves.
Une séance de recherche du même problème avait déjà été organisée en avril 1991, dans des conditions semblables.

L'énoncé donné (voir en annexe la feuille d'énoncé distribuée aux élèves),
"factoriser Xⁿ - 1" , était volontairement flou, puisque, pour nous, c'était à l'élève de distinguer différents cas, de préciser l'énoncé, de découvrir et d'énoncer des résultats (appelés "présumés théorèmes" dans les directives fournies aux élèves) en précisant leur domaine de validité : en un mot, de construire une micro théorie mathématique.

Afin que les élèves ne s'arrêtent pas au premier résultat trouvé, et pour relancer la recherche pour les groupes "manquant d'imagination", deux autres formulations plus précises du problème ont été données successivement au cours de la séance, sous forme de relances :

- distinguer n pair et n impair,
- factoriser de façon à obtenir un produit de deux plynômes de degré le plus proche possible.

Après quelques minutes, plusieurs groupes proposent le résultat :

R1 : Xⁿ - 1 = (X - 1)(X^n-1 + X^n-2 + ... + X + 1)

Deux groupes l'assortissent de la condition "si n impair", et à ma question "pourquoi si n impair ?", ils répondent : "parce que, pour n pair, on obtient....", et ils me montrent quelques résultats obtenus dans le cas où n est pair. La seconde question  "le résultat n'est-il pas vrai si n est pair ?", provoque des hésitations, un groupe dit que c'est faux, en montrant comme preuve une factorisation plus élaborée fournie par le logiciel :

X⁶ - 1 = (X - 1) (X + 1) (X² + X + 1) (X² - X + 1),

l'autre groupe dit qu'il faudrait développer (une partie de la factorisation ci-dessus) pour voir si c'est vrai, et je leur montre comment faire.

Cette partie de l'activité met en évidence une difficulté des élèves à se dégager des résultats fournis par le logiciel, pouvant aller jusqu'à une transformation possible de la recherche de résultats mathématiques en recherche des résultats produits par le logiciel. Eviter ce piège nécessite que les élèves aient une vision claire des capacités du logiciel, et de la place des résultats qu'il fournit par rapport au savoir mathématique ; la réflexion sur ce point a conduit à mener une enquête auprès des élèves pour connaître l'image qu'ils avaient du logiciel (voir article "Que pensent-ils de DERIVE ?").

Après environ vingt minutes, je propose aux élèves la première reformulation du problème : "distinguer n pair et n impair" (certains groupes avaient déjà fait seuls cette distinction). Apparaît alors, dans plusieurs groupes, le résultat :

R2 : si n est pair, Xⁿ - 1 = (X - 1)(X + 1)(X^n-2 + X^n-4 + ... + X²  + 1)

et un groupe propose même une démonstration qui consiste à développer le produit des deuxième et troisième facteurs pour aboutir à la factorisation de R1.

La deuxième relance, après quarante minutes, ("mettre sous forme d'un produit de deux polynômes de degré le plus proche possible"), permet qu'un groupe aboutisse au résultat :

R3 : si n est pair, Xⁿ - 1 = (X^n/2 - 1) (X^n/2 + 1)

Il faut, pour comprendre que ce résultat n'apparaisse pas plus facilement, savoir que DERIVE produit comme factorisation, avec des coefficients rationnels :

X⁶ - 1 = (X - 1)(X + 1)(X² + X + 1)(X² - X + 1)

et donc que retrouver (X³ - 1)(X³ + 1) nécessite soit de développer (ce qui a été fait par certains), soit de diviser X⁶ - 1 par X³ - 1 (ce qui n'a pas été fait). Pourtant l'année précédente beaucoup de groupes avaient obtenu ce résultat sans avoir besoin de la relance, ce qui semble bien montrer, outre la variété des classes, que les résultats trouvés vont dépendre assez fortement de la plus ou moins grande familiarité des élèves avec certaines possibilités du logiciel de calcul formel.
La séance de recherche se termine, les élèves font imprimer les traces de leur session, que nous utiliserons le lendemain lors de la séance de mise au point.

Elle a lieu le lendemain, avec toute la classe, dans la salle de cours habituelle.

Je fais énoncer les différents résultats obtenus : R1 et R2 et, instruit par l'expérience de l'année précédente, je ne propose pas de démonstration systématique : cela avait beaucoup alourdi la séance.
Je rappelle la deuxième reformulation : "produit de deux facteurs de degré le plus proche possible", et je laisse chacun chercher à nouveau. Assez vite, plusieurs élèves formulent le résultat R3.

A partir de l'écriture (lue sur le listing)

X¹⁰ - 1 = (X - 1)(X + 1)(X⁴ - X³ + X² - X + 1)(X⁴ + X³ + X² + X + 1)

un élève, en regroupant le premier et le troisième facteur d'une part, le deuxième et le quatrième d'autre part, aboutit au résultat :

X¹⁰ - 1 = (X⁵ - 2X⁴ +2X³ - 2X² + 2X - 1)((X⁵ - 2X⁴ +2X³ - 2X² + 2X + 1)

et écrit même le résultat général pour n pair. Mais je ne reprendrai pas son résultat pour toute la classe.

J'institutionnalise le résultat R3 au tableau ; une élève demande "et si n est impair ?", interrogation qui va déclencher un dialogue fort surprenant.

Un élève propose :  X⁵ - 1 = (X^2,5 - 1)(X^2,5 + 1). Je demande à la classe ce qu'elle en pense. Un élève répond : "ça marche, j'ai essayé X = 5", ce qui signifie qu'il a calculé avec sa calculatrice 5⁵ - 1 et (5^2,5 - 1)(5^2,5 + 1), et trouvé le même résultat. A priori, tout le monde semble d'accord, j'insiste pour avoir l'opinion de chacun, et un élève ose dire qu'on n'a jamais vu d'exposant à virgule comme 2,5. Je laisse méditer la classe. Après 5 minutes, l'élève qui, par sa question, avait déclenché cette aventure indique qu'elle a constaté, avec sa calculatrice, que X^0,5 est égal à (peut-être avait-elle déjà vu ce résultat). Je demande si cela pourrait servir pour X^2,5 et un élève propose : 5^2,5 = 5^2 + 0,5 = 5² . Comblé, je conclus que c'est bien ainsi que sera défini plus tard X^2,5 .

Au delà de l'aspect anecdotique, ce moment me paraît illustrer assez bien la créativité qui peut apparaître à l'occasion de ce type de recherche. On peut aussi, bien sûr, mettre l'accent plutôt sur le manque flagrant de rigueur dont ont fait preuve ces élèves qui généralisent si facilement à partir d'un exemple. En tout cas, cet épisode nous a donné l'idée de faire travailler les élèves, avec ou sans logiciel de calcul formel, sur un problème dont le but soit la construction d'objets mathématiques. Voici l'énoncé à proposer aux élèves : "A quoi pourrait être égal X^2,5 ?". Mais ceci est une autre histoire.

Nous avons retiré de cette préexpérimentation (et de quelques autres tentatives non décrites ici) quelques résultats, que nous tenterons de préciser par une expérimentation plus précise :

- la grande dépendance entre les résultats trouvés et les outils de calcul formel utilisés (dans DERIVE : factorisation ou division de polynômes par exemple). En effet, la forme des résultats fournis par le logiciel va conditionner très fortement les pseudo-théorèmes produits par l'élève, ou l'ordre dans lequel il va les produire. Cependant, une plus grande familiarité des élèves avec le logiciel devrait permettre à chacun d'employer plus facilement tous les outils à sa disposition, et ainsi atténuer cet effet négatif.
- la nécessité, pour éviter certaines distorsions de l'activité, que les élèves aient une perception correcte du logiciel comme outil permettant d'obtenir certains résultats à un moindre coût, et non comme centre de l'activité.
- une difficulté à organiser la séance destinée, en conclusion de l'activité, à faire le point, institutionnaliser les résultats trouvés : comment gérer des parcours différents ? doit-on toujours prouver, au risque de lasser ? Mais ce n'est pas seulement le cas dans une recherche assistée par logiciel de calcul formel.

- une recherche, menée dans une classe comparable, du même problème, mais sans logiciel de calcul formel, a assez rapidement abouti aux résultats R1 et R3, mais en est restée là. S'il s'avère que l'utilisation d'un logiciel de calcul formel permet une plus grande variété de résultats (au détriment de la rigueur ?), peut-être est-ce parce que l'usage d'ordinateurs oriente l'activité vers un contexte moins scolaire.

L'équipement actuel des établissements (une salle spécialisée d'informatique d'une dizaine de micro-ordinateurs) est mal adapté à l'utilisation décrite ci-dessus, car il oblige à différencier, séparer les activités là où il faudrait regrouper, intégrer. La solution idéale serait l'utilisation par chacun de son ordinateur de poche individuel muni entre autres outils d'un logiciel de calcul formel. Cependant quelques ordinateurs, portatifs ou non, dans une salle de mathématiques aménagée peuvent permettre une organisation transitoire.

Quels sont les problèmes adéquats pour le type de recherche décrit ici ? Il s'agit de conjecturer un résultat (ou plusieurs) concernant la transformation d'une expression dépendant d'un paramètre (ou plusieurs). A partir des essais que l'on peut faire soi-même, ou faire réaliser par le logiciel, on recherchera une forme générale. Cette activité de recherche de modèle, de régularités, à partir d'exemples met en jeu des capacités diverses : construction d'essais ordonnés, recherche de régularités, fabrication de contre-exemples, capacités qui doivent être développées à travers des activités adaptées. L'utilisation de logiciel de calcul formel, en libérant des activités de calcul (dans une mesure à préciser), permet d'une part de s'intéresser à des problèmes d'une ampleur plus grande, de découvrir des résultats plus enthousiasmants, d'autre part de centrer l'activité moins sur les techniques de calcul mises en jeu que sur la stratégie de recherche, sur les capacités heuristiques nécessaires.

Enoncé : Factoriser X^{n - 1}

Outils utilisables 
Pour avoir une factorisation : 

A partir de x³ - 2x + 1

Factor. Rationnel :    (x - 1)(x² + x - 1)

Factor.raDical : 

A partir de              (x - 1)(x - 2)(x - 3)

 dévEloppe :  x³ - 6x² + 11x - 6

Pour trouver un facteur :

 A partir de

Simplifie :  x² + x + 1

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