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PAVE DROIT ET PRISMES

NIVEAU
6ème, 5ème

TYPE D'UTILISATION
Travaux dirigés en salle informatique

MATERIEL
Un ordinateur PC par groupe de deux élèves

Logiciels :
Géospace et Espace1 (CREEM / CNAM - DLC diffusé par le CRDP de Poitiers)

OBJECTIFS

- Apprendre à "voir" dans l'espace.

- Utiliser des représentations en perspective cavalière.

- Faire le lien entre géométrie dans l'espace et géométrie plane.

- Observer une figure de l'espace sous différents points de vue.

- Expérimenter, émettre des conjectures, vérifier.

APPORTS DU LOGICIEL

- Avoir une meilleure vision de l'espace et de ses représentations.
- Donner la possibilité de se placer dans un des plans de la figure et de voir alors les faces des solides en "grandeur réelle".
- Expérimenter, émettre des conjectures et les vérifier.

AUTEUR DE LA SEQUENCE

Marie-Thérèse LABAT (Académie de VERSAILLES)

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PAVE DROIT ET PRISMES

 fiche professeur

 CONNAISSANCES PREALABLES

 Mathématiques : Savoir construire triangles et quadrilatères particuliers, avoir étudié le pavé droit (au programme de la classe de 6ème), savoir calculer le volume d'un prisme (pour la deuxième partie).

 Logiciel : Savoir utiliser quelques fonctionnalités du logiciel "Géospace" :
    - Charger un fichier,
    - CREER un segment,
    - Calculer longueurs et angles (touche F9),
    - Examiner un plan particulier de face et donc "voir en vraie grandeur" des figures planes (mode VOIR et touche F2),
    - Déplacer un point mobile (mode MOUVOIR) et choisir un pas de déplacement,
    - Revenir à la position initiale lorsqu'on a fait tourner un solide (mode VOIR et touche I),
    - Créer un nouveau noyau (mode CREER, divers, nouveau noyau).

ORGANISATION ET DEROULEMENT DE LA SEANCE

Documents distribués aux élèves
Une fiche comportant consignes, questions et aides (voir fiche élève).

Fichiers utilisés :
PAVE1.g3d, PAVE2.g3d, PAVE21.g3d, PAVE3.g3d et PAVE4.g3d.

Déroulement de la séance :
Cette activité est divisée en quatre parties (voir fiche élève).

La première partie est consacrée à l'étude d'un pavé droit et peut être réalisée en classe de 6ème.

Les élèves doivent compléter une représentation en perspective cavalière de ce pavé, tracer des segments, comparer leurs longueurs et dessiner "en grandeur réelle" sur le cahier un quadrilatère.

Le calcul du volume du pavé droit termine cette première partie. Les élèves utilisent l'ordinateur pour observer le pavé sous différents points de vue, obtenir des mesures d'angles et de segments et examiner des plans particuliers.

Dans la deuxième partie, il s'agit d'étudier un prisme droit obtenu à partir du pavé précédent.

Dans la troisième partie, on décompose le pavé droit à partir d'un point choisi sur une arête du pavé en un certain nombre de prismes et on propose aux élèves d'étudier ces prismes, d'en préciser les bases et le nombre selon la position du point choisi sur l'arête du pavé.

Les élèves utilisent l'ordinateur pour voir les prismes obtenus sous différents points de vue,

et conjecturer le nombre de prismes en modifiant la position du point choisi sur l'arête du pavé.

La quatrième partie est consacrée à l'étude d'un cas particulier. Le pavé droit est alors décomposé en trois prismes droits dont deux ont les mêmes dimensions (le point choisi est alors situé au milieu de l'arête).

L'ordinateur sert ici à examiner des plans particuliers, à isoler l'un des prismes à l'écran et à aider les élèves à réaliser un patron de ce prisme droit.

Durée :
Une séance d'une heure pour la première partie. Deux séances d'une heure pour les trois autres parties.

Synthèse :
En classe entière, une synthèse et une mise au point terminent la séance. Il est en effet indispensable de vérifier que tous les calculs demandés sont exacts et que les représentations en "vraie grandeur", le patron et les représentations en perspective cavalière sont corrects.

APPORT DU LOGICIEL

Le logiciel "Géospace" permet de conjecturer la nature d'un triangle ou d'un quadrilatère en examinant un plan particulier. Il permet également aux élèves de vérifier leurs conjectures en demandant des mesures d'angles et de longueurs. Enfin, on peut faire tourner les objets géométriques sur l'écran par des actions simples de touches. Cela permet de choisir certaines orientations qui permettent de mieux voir les propriétés géométriques de la figure.

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PAVE DROIT ET PRISMES

fiche élève

PREMIERE PARTIE
Charger le fichier PAVE1

ABCDEFGH est un pavé droit

1) Compléter, avec règle et compas, la figure ci-dessous pour obtenir une représentation en perspective cavalière de ce pavé.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Aide : Choisir le mode Voir
          Modifier la position du pavé sur l'écran à l'aide des flèches  pour obtenir AEHD de face.

 

 

 

2) Tracer sur l'écran avec le logiciel les segments [BE] et [CH] (mode CREER : ligne).
    Conjecturer la nature du quadrilatère BEHC.

Vérifier votre conjecture à l'aide de l'ordinateur :
- examiner le plan BEH (mode VOIR : touche F2)
- demander la mesure de l'angle et les mesures des segments
[EB] et [HC] (mode VOIR : touche F9 avec AJ pour unité de longueur).

 Compléter la figure de la question 1 en traçant également les segments [BE] et [CH].

3) Construire à l'écran avec le logiciel les segments [CE] et [BH] (mode CREER : ligne).

Que peut-on dire des longueurs de ces deux segments ?

Vérifier votre conjecture avec l'ordinateur (mode VOIR : touche F9 en prenant AJ pour unité de longueur).

Quelle est la propriété qui permet de prouver ce résultat ?

4) L'unité de distance est le centimètre, on donne :

AE = 2,5 AB = 4,5 AD = 3,5

Dessiner en "grandeur réelle" sur le cahier, avec règle et compas, le quadrilatère BEHC.

Aide :
        Il faut pouvoir tracer les segments [BE] et [CH] mais on ignore les longueurs exactes de ces segments. On peut obtenir ces segments en traçant un triangle ou un quadrilatère.
        Utiliser le logiciel pour examiner le plan ABE (mode VOIR : touche F2).
        Quelle figure faut-il donc construire d'abord pour obtenir le segment [BE] ?

Réaliser alors votre construction sur le cahier avec règle et compas. Justifier votre construction en citant les propriétés utilisées.

5) Quel est le volume du pavé ABCDEFGH ? (valeur exacte)

 

 

 

 

 

DEUXIEME PARTIE
Charger le fichier PAVE2

1) On considère le prisme droit EFBHGC.
Nommer une de ses bases. Quelle est sa hauteur ?

Compléter la figure ci-dessus pour obtenir une représentation en perspective cavalière de ce prisme.

Aide : Charger le fichier PAVE21

2) Calculer le volume du prisme EFBHGC ? (valeur exacte)

Comparer les volumes du pavé ABCDEFGH et du prisme EFBHGC.

Que peut-on remarquer ? Etait-ce prévisible ?

 

 

 

TROISIEME PARTIE
Charger le fichier PAVE3

Le point M est un point du segment [EF].
Le point N est le point du segment [GH] tel que les droites (MN) et (HE) soient parallèles.

1) Tracer à l'écran les segments [AM] et [ND] (mode CREER : ligne).
Combien de prismes composent alors le pavé ABCDEFGH ?

Nommer ces prismes et préciser les bases de chacun d'eux.
Compléter la représentation en perspective cavalière ci-dessous de ce solide.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.Aide :
        Choisir le mode VOIR.
        Modifier la position du pavé sur l'écran à l'aide des flèches pour obtenir AEHD de face.

2) Choisir le mode MOUVOIR et modifier la position de   M sur [EF] (choisir un pas de 1)

Y a-t-il des positions de M qui modifient le nombre de prismes composant le pavé ABCDEFGH?
Lesquelles ?
Il y a une position de M qui décompose le pavé en 3 prismes dont deux ont les mêmes dimensions.
Laquelle ?

QUATRIEME PARTIE
Charger le fichier PAVE4
M est à présent au milieu de [EF].

 

1) Donner la nature des bases des trois prismes qui composent le pavé ABCDEFGH.

Aide : Examiner certains plans et mesurer angles et segments (mode VOIR et touches F2 et F9).

Calculer le volume du prisme MFBNGC.
Comparer les volumes du pavé ABCDEFGH et du prisme MFBNGC. Que remarquez vous ?
En déduire le volume du prisme ABMDCN (valeur exacte).

2) Représenter, sur votre cahier, en vraie grandeur le triangle AMB.

Aide : Examiner le plan AMB (mode Voir, touche F2).

3) Représenter, sur votre cahier, en perspective cavalière le prisme ABMDCN.

Aide : On peut isoler ce prisme à l'écran (mode CREER, divers, nouveau noyau, répondre             AMBDNC).

4) Dessiner, sur votre cahier, un patron de ce prisme.

Aide : Charger le logiciel Espace1 et choisir le solide prisme droit.

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