Sommaire de la brochure


Présentation de la fiche
Fiche élève
Télécharger ce chapitre au format Word 6 (136 Ko )

LIRE UNE EXPRESSION, DEVELOPPER,
FACTORISER AVEC DERIVE

NIVEAU
Seconde

TYPE D'UTILISATION
Travaux dirigés en salle informatique

MATERIEL

Une salle d’ordinateurs PC
Logiciel : Derive (Edusoft)

OBJECTIFS

Mieux comprendre la structure des expressions algébriques pour mieux maîtriser le calcul algébrique

APPORTS DU LOGICIEL

 - Analyser la structure d'une expression, puisque l'on a accès à différents niveaux de celle-ci
 - Passer d’une écriture " en ligne " à une écriture " en deux dimensions "
 - Vérifier des résultats de calcul algébrique, ce qui permet un travail plus autonome de l'élève

AUTEUR DE LA SEQUENCE
Bernard LACHAMBRE (Académie de Besançon)

 Séquence extraite de la brochure "Informatique et Mathématiques", mars 1995, publiée par la MAFPEN et le CRDP de Franche-Comté

Haut de page


LIRE UNE EXPRESSION, DEVELOPPER,
FACTORISER AVEC DERIVE

fiche professeur

CONNAISSANCES PREALABLES

Mathématiques : Les connaissances en calcul algébrique du collège (cette séquence intervient dès le début du travail sur ce thème en seconde).

Logiciel : Aucune.

OBJECTIFS DE L’ACTIVITE ET APPORTS DE L’ORDINATEUR

Le calcul algébrique en seconde demande, pour être bien maîtrisé, que de nombreux exercices soient faits par les élèves, et ceci tout au long de l’année.
L’organisation de séances d’exercices n’est pas très aisée si l’on veut qu’elles soient profitables à tous. En effet :

- Tout d’abord, le niveau et le degré de maîtrise du calcul algébrique est très variable d’un élève à l’autre et certains élèves sont très lents. Quand une série d’exercices a été faite, la correction au tableau est peu satisfaisante : les bons élèves ont l’impression de perdre leur temps, alors que ceux qui ont commis des erreurs se contentent souvent de recopier la correction (espérons que cela soit réalisé sans faute) sans chercher où se trouve(nt) leur(s) erreur(s). C’est la première raison qui m’a incité à utiliser le logiciel Derive avec mes élèves.

- De plus, lire une expression et lui donner un sens représente aussi une difficulté pour l’élève de seconde. Cette difficulté apparaît par exemple lors de la réalisation d’un calcul à l’aide de la calculatrice (priorité des opérations, rôle de la barre de fraction, ...). Dans ce cas, c’est la valeur du résultat, comparée à la valeur attendue, qui sert de contrôle et révèle ou non l’existence d’une erreur. L’utilisation de Derive, elle, apporte beaucoup plus, car le logiciel va afficher, avec l’écriture habituelle (c’est-à-dire en deux dimensions), l’expression que l’élève vient de rentrer " en ligne ".

- Enfin je pensais également qu’il était intéressant de proposer à de futurs scientifiques et techniciens (je travaille en lycée technique) ce type d’outil, performant, qu’ils pourront rencontrer plus tard.

On peut penser également que l’ordinateur aide les élèves à avoir un comportement plus critique face à une expression algébrique, dans la mesure où ils auront davantage " expérimenté " dans ce domaine.

Remarque importante : L’objectif reste que les élèves soient capables de faire du calcul algébrique à la main, sans ordinateur. Ce dernier n’est qu’un auxiliaire qui peut les aider à un meilleur apprentissage. Ceci dans l’état actuel des programmes et des possibilités des calculatrices courantes. Mais la situation évolue avec l’arrivée de calculatrices contenant un programme de calcul formel, comme la TI 92 qui contient une version adaptée de Dérive.

ORGANISATION ET DEROULEMENT

Durée de l’activité

Deux séances d’une heure pour effectuer le travail prévu dans la fiche élève jointe, mais d’autres séances peuvent compléter celles-ci, comme il est indiqué plus loin.

Organisation et déroulement du travail

Les deux premières séances se déroulent avant qu’un travail systématique ne soit entrepris sur le calcul algébrique.
Au cours de la première séance, a lieu la présentation des principales commandes du logiciel (Auteur, dEveloppe, Factorise, Simplifie, cHoix-Substitue, approXime) et des touches d’édition des formules, ceci à l’aide d’un dispositif de rétroprojection (environ 10 mn).
Les élèves reçoivent ensuite les feuilles de travail dirigé (voir fiche élève). Ces feuilles décrivent les actions à faire, par le menu dans un premier temps, (cette première phase permet donc l’initiation au logiciel), puis en les laissant se débrouiller seuls.
Les élèves doivent effectuer le travail indiqué et rédiger un compte-rendu précis, en particulier toutes les étapes du calcul (mené à la main) doivent y être indiquées.

Les élèves disposent également d’une fiche leur rappelant les principales commandes de Derive (cette fiche est reproduite en annexe 2).

Le travail indiqué sur la fiche élève correspond à environ deux heures de travail. Ce temps peut paraître long, mais l’observation des élèves montre qu’ils passent du temps pour analyser leurs erreurs et s’expliquer mutuellement leurs différentes démarches, ce qui me semble très profitable (voir en annexe 1 un exemple de travail d’élèves).

SUITE DU TRAVAIL

Des séances de calcul algébrique (développement, factorisation, résolution d’équations, calcul avec des racines) sont ensuite organisées régulièrement, soit avec l’aide de Derive, soit sans Derive (trois autres séances ont eu lieu, dont deux dans le cadre de l’enseignement modulaire). Dans ce cas, les calculs à effectuer (les énoncés) sont déjà saisis, les élèves les chargent en mémoire en début de séance, puis utilisent l’ordinateur pour contrôler les calculs qu’ils réalisent à la main, et pour rechercher leurs erreurs, par exemple en demandant un développement ou une factorisation partielle.

Remarques

Seule une faible partie de la puissance de Derive est utilisée ici, mais l’usage d’un logiciel ouvert laisse une part importante d’initiative à l’élève ainsi qu’à l’enseignant.

De plus les vastes possibilités offertes par le logiciel le rendent utilisable par un élève donné pendant plusieurs années, ce qui minimise le " coût " en temps d’apprentissage et tend à faire entrer l’utilisation d’un tel outil dans les habitudes.

Contenu du fichier EX1.MTH

3 :   


  Annexe 1
Un exemple de traitement d’erreur par un groupe de deux élèves

A la saisie de l’expression de l’exercice 4, un groupe d’élèves obtient l’affichage suivant :

p38-1.gif (204 octets)

au lieu de celui qui était attendu : p38-2.gif (204 octets)

J’avais déjà eu plusieurs fois l’occasion de faire remarquer qu’il était préférable, en cas d’erreur de saisie, de modifier une expression plutôt que de la retaper entièrement. Aussi les élèves ont-ils, après un moment de surprise, repris dans l’éditeur l’expression saisie précédemment.

Dans un premier temps, ils ont cherché en vain leur erreur.

Le premier défaut qu’ils ont mis en évidence a concerné la présence du facteur b en fin d’expression. Après discussion, l’un d’eux a fait remarquer qu’un produit sous une barre de fraction devait être effectué prioritairement au quotient, priorité qui semblait non respectée dans le cas présent. Il fallait donc mettre des parenthèses. Ensuite la discussion a été plus longue et deux essais ont été nécessaires pour arriver à " redescendre " le b : le premier a consisté à mettre des parenthèses autour de b, réaction que j’avais déjà rencontrée précédemment dans le cadre d’un travail sur feuille lorsque j’avais dit qu’une expression était mal écrite.

Après cette première correction, ils ont été surpris de constater que le résultat obtenu était encore incorrect : 38-3.gif (314 octets)  .

On peut donc penser qu’ils n’avaient pas remarqué, dans leur première analyse, la présence d’un deuxième défaut. Là aussi la recherche de la position des parenthèses manquantes a demandé un certain temps : fallait-il les mettre autour du terme (a+b)² mal placé, ou autour de (a+b)² - (a-b)² ? D’autres propositions ont aussi été faites, mais elles ont été rapidement abandonnées.

Le travail de ces élèves pour l’écriture de cette expression a duré environ 10 minutes, pendant lesquelles je ne suis pas intervenu. Ils ont certainement, à cette occasion, appris plus de choses sur la priorité des opérations en liaison avec les barres de fraction que s’ils s’étaient trouvés dans un environnement papier crayon ; le retour par l’ordinateur de l’expression tapée et la possibilité de la relire " en ligne " dans l’éditeur sont très intéressants. Une fois l’expression bien écrite, je suis intervenu pour leur poser quelques questions et leur faire formaliser ce qu’ils avaient observé.

On peut dire également que l’observation d’un groupe d’élèves est possible dans ce type d’organisation (travail devant l’ordinateur) car les élèves sont assez autonomes, l’enseignant n’est pas continuellement accaparé par ceux qui demandent une vérification de leur résultat ou qui ne savent pas comment démarrer un calcul.


Annexe 2
Quelques fonctionnalités de Derive

 Abandon d’une action par touche ESC (Escape) ou Echap (Echappement).
Déplacement dans les menus situés au bas de l’écran :

- déplacement dans les menus par la barre d’espace, ou par la touche de tabulation pour passer d’une série d’options à une autre,
- choix d’une option en tapant la lettre majuscule associée, ou en se positionnant sur l’option (qui apparaît en vidéo inverse) puis Entrée.

Saisie d’une expression : commande Auteur

Déplacement du curseur dans la ligne " auteur " c’est-à-dire édition d’une formule :

- Ctrl S ou ¬ déplace le curseur vers la gauche (suivant version et configuration de Derive)
- Ctrl D ou ® déplace le curseur vers la droite (suivant version et configuration de Derive)
- la touche F6 (version Derive 2.58) modifie le rôle des flèches ¬ et® .

Sélection d’une expression ou d‘une partie d’ expression : utiliser les flèches ­ ¯ pour choisir une expression, les flèches ¬ ® puis éventuellement ­ ¯ pour " rentrer " dans une expression, et donc sélectionner une partie d’expression, idem pour en " ressortir ".

Modification, insertion d’une expression ou partie d’expression déjà existante :

1 - se mettre en mode Auteur,
2 - se positionner sur cette expression ou cette partie d’expression avec les flèches,
3 - taper sur la touche F3 pour insérer à l’emplacement du curseur la partie d’expression sélectionnée (touche F4 : même effet avec en plus des parenthèses autour de la partie sélectionnée).

Symboles particuliers :

- Ö (racine carrée) : taper Alt Q,
- p : taper Alt P,
- pour un exposant, taper l’accent circonflexe avant celui-ci, par exemple x² se tape x^2.

Charger des expressions (charger un fichier) :

Taper T C D (c’est-à-dire Transfert Charge Derive) puis le nom du fichier.

Enregistrer des expressions (sur le disque dur ou sur disquette) :

Taper T S D (c’est-à-dire Transfert Sauve Derive) puis le nom du fichier.

Quelques commandes

Simplifie donne une écriture " simplifiée " de l’expression sélectionnée,
Factor factorise l’expression ou le nombre sélectionné,
dévEloppe développe l’expression sélectionnée,
cHoix Substitue (taper H puis S) permet de remplacer une inconnue par une expression, une autre inconnue, ou un nombre ; pour cela taper ensuite ce qui doit remplacer l’inconnue et qui apparaît à la place de celle-ci (on peut aussi utiliser les touches F3 ou F4 pour réutiliser une partie d’expression existante), taper sur Entrée si on ne change pas,
résoL résout une équation,
- suppRime supprime une ou des expressions (on peut indiquer la première et la dernière expression à supprimer en les sélectionnant avec les flèches),
approX donne une valeur approchée du nombre sélectionné (on peut choisir la précision en sélectionnant Option Précision puis en indiquant le nombre de décimales, - utiliser la touche de tabulation pour y accéder, mais ne pas modifier l’option Exact).

Haut de page


LIRE UNE EXPRESSION, DEVELOPPER,
FACTORISER AVEC DERIVE

fiche élève

Exercice 1

Chargez l’exercice 1
Pour cela, tapez T C D (c’est-à-dire Transfert Charge Derive) puis EX1 et Entrée .

Exploration de l’expression n°3 :

Utilisez la flèche ® pour " entrer " dans l’expression, puis alternativement les flèches ® et ¬ .
Utilisez la flèche ¯ pour " descendre " dans l’expression puis à nouveau les flèches ® et ¬ .
Utilisez la flèche ­ pour " remonter " dans l’expression puis à nouveau les flèches ® et ¬ .
etc... . Cela permet de dire que l’expression est construite de la façon suivante:

p41-1.gif (334 octets)  

est le quotient

 


p41-2.gif (165 octets)
de


par

p48-3.gif (170 octets)

p41-4.gif (194 octets)

 

p48-3.gif (170 octets)

 

est la somme

 

 

p41-5.gif (133 octets)


de

et de


p41-6.gif (65 octets)

p41-7.gif (127 octets)


p41-6.gif (65 octets)


est le quotient
p41-5.gif (133 octets) de

par

3

2


p41-7.gif (127 octets)


est le produit

 


p41-5.gif (133 octets)

 

de

par

2

p41-9.gif (108 octets)


p41-9.gif (108 octets)


est le quotient

 


p41-15.gif (951 octets)
de

par

1

p41-11.gif (81 octets)


p41-11.gif (81 octets)


est la somme

p41-15.gif (951 octets)
de

et de

1

p41-12.gif (64 octets)


p41-12.gif (64 octets)


est le quotient

p41-15.gif (951 octets)
de

par

1

3

Faites le même travail pour le dénominateur  p41-13.gif (194 octets)

Une autre écriture de l’expression n°3 :

Utilisez la commande Auteur (tapez A) puis, quand l’expression 3 est entièrement sélectionnée, recopiez-la avec la touche F3.
Observez l’expression écrite, cette fois, " en ligne ", c’est-à-dire :
(3/2 + 2 (1/ (1+1/3))) / (1/2+1/3 (4+3/2))

C’est cette expression qu’il aurait fallu taper pour obtenir l’expression n°3 à l’écran.
Abandonnez ce travail (touche Esc).

Autre méthode pour fabriquer l’expression 3 :

- Mettez-vous en mode Auteur (tapez A).
- Sélectionnez l’expression n°1 (avec les flèches), c’est le numérateur.
- Recopiez-la, avec des parenthèses (touche F4).
- Tapez / (signe de division).
- Sélectionnez l’expression n°2 (avec les flèches), c’est le dénominateur.
- Recopiez-la, avec des parenthèses (touche F4).

- Appuyez sur Entrée.

Calculez cette expression (sur feuille) et vérifiez le résultat en utilisant la commande Simplifie (tapez S) puis la commande Factorise (tapez F). Indiquez toutes les étapes du calcul sur le compte-rendu et donnez le résultat sous forme factorisée.

Remarque : Il est possible, pour retrouver une erreur, de sélectionner seulement une partie de l’expression 3, la commande Simplifie ne simplifie alors que la partie sélectionnée.

Exercice 2

- Entrez l’expression  p42-1.gif (296 octets).

On pourra taper d’abord p42-2.gif (111 octets)   sur une première ligne, utiliser cette expression pour composer le numérateur p42-3.gif (181 octets)   sur une deuxième ligne, puis utiliser les deux expressions ci-dessus pour composer l’expression entière.

 - Donnez, sur le compte-rendu, l’expression " en ligne " correspondante.
- Simplifiez cette expression en indiquant toutes les étapes du calcul, et vérifiez avec le logiciel (compte-rendu également). 

Exercice 3

  Entrez l’expression (3x+1)² (x-4).

Remarque : Pour le carré, tapez l’accent circonflexe ^ suivi de 2.

- Indiquez sur le compte-rendu comment est faite cette expression (comme pour le début de l’exercice 1).
- Développez et réduisez cette expression (à la main, compte-rendu).
- Vérifiez avec le logiciel en utilisant la commande dévEloppe (tapez E). A noter qu’il est possible de ne développer qu’une partie de l’expression (fonctionnement identique à la commande Simplifie).
- Calculez la valeur de l’expression initiale pour x = p43-1.gif (65 octets) (à la main, compte-rendu).
- On peut vérifier avec le logiciel ; pour cela :
            - Sélectionnez l’expression complète,
            - Utilisez la commande cHoix Substitue (tapez H puis S), puis Entrée.
            - Tapez 1/2 à la place de x puis Entrée,
            - Utilisez la commande S (Simplifie).
            - Faites la même chose en remplaçant cette fois x par p43-1.gif (65 octets) dans l’expression développée et réduite (compte-rendu),
            - Mêmes questions avec x = Ö 2 (compte-rendu)

Remarque : Pour obtenir Ö 2 avec le logiciel Derive il faut taper successivement Alt Q puis 2.

Exercice 4

Simplifiez l’expression p43-2.gif (206 octets)

- en utilisant le logiciel Derive,
- en faisant un calcul à la main (utilisez 2 méthodes différentes (compte-rendu)).

Exercice 5

Entrez l’expression p43-3.gif (176 octets) et simplifiez-la avec Derive.
Indiquez dans le compte-rendu les calculs qui mènent à la simplification.

Haut de page


Sommaire de la brochure