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N°16 - Juin 2013

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Le franc carreau

Christophe CHABROUX,
professeur de mathématiques et sciences plysiques, lycée professionnel, SEP Maryse-Bastié, Limoges (87)

Ou comment un jeu étudié par le comte de Buffon à la cour du roi Louis XV en 1733 devient le support d’une activité où les élèves découvrent que les mathématiques peuvent étudier le hasard…

Le but de l’activité est de découvrir la fluctuation d’échantillonnage à partir d’un problème de géométrie. Dans un premier temps, les élèves manipulent réellement une pièce sur un quadrillage. Après avoir constaté une relative diversité des résultats, c’est à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique et d’un tableur qu’ils stabiliseront la fréquence vers la probabilité de l’événement.

Présentation

Ce jeu consiste à lancer une pièce sur un quadrillage. Si la pièce n’a aucun contact avec un trait, c’est gagné ; elle est dite « franc carreau ».
Cette activité a été proposée à une classe de seconde professionnelle Communication et Industrie graphique.

Phase 1 (5 minutes)

Chaque élève reçoit un quadrillage de 5 * 5 cm et une fausse pièce en plastique de diamètre 23 mm (qui correspond à une pièce de 1 €). Chacun devra effectuer chez lui 20 lancers et compter le nombre de fois où la pièce a été « franc carreau ».

Phase 2 (5 minutes)

Au cours suivant, les résultats des 24 élèves sont convertis en fréquence :

0,4

0,45

0,4

0,45

0,4

0,5

0,3

0,45

0,4

0,35

0,45

0,45

0,4

0,4

0,5

0,7

0,4

0,5

0,45

0,4

0,35

0,35

0,5

0,

Suit une discussion des résultats ; des élèves avancent l’idée que gagner n’est « pas évident », d’autres disent qu’on a une chance sur deux de gagner. La moyenne des résultats est de 0,43.

Phase 3 (20 minutes)

Le lycée dispose d’une classe mobile : 12 ordinateurs portables pour les élèves, un ordinateur pour le professeur, un vidéoprojecteur, une imprimante, l’ensemble en réseau Wi-Fi. Un ordinateur portable est distribué pour 2 élèves.
Un fichier, créé avec Cabri Géomètre II plus, permet des conditions de jeu différentes : on peut choisir la taille de carreau (de 20 à 100 mm) et le diamètre de la pièce (de 10 à 30 mm).
En déplaçant le curseur permettant de piloter le déplacement aléatoire de la pièce, les élèves s’aperçoivent qu’en face du mot « gain » apparaît soit « 1,00 »,  soit « inexistant ».
Ils créent dans le logiciel une table pour mémoriser les valeurs successives de la variable « gain ». L’outil « Animation » permet de lancer la simulation. Il suffit ensuite de copier les valeurs du tableau obtenu dans le presse-papier de l’ordinateur.

Phase 4 (10 minutes)

En ouvrant un tableur (en l’occurrence Open Office Calc), on colle dans la cellule A1 la table provenant de la simulation réalisée à l’étape précédente.
Dans la cellule B2, on tape la formule « =NB.SI(A1:A999;1)/999 ». qui compte le nombre de « 1 » dans la colonne de cellules A1:A999 et donne le résultat de la fréquence.
Les résultats des 12 binômes sont les suivants :

0,2783

0,3053

0,2983

0,2813

0,3003

0,2963

0,2883

0,3093

0,3013

0,2903

0,2783

0,2913


Rapidement, les élèves s’aperçoivent que la probabilité de gain n’est pas d’une chance sur 2 mais qu’elle doit être entre 0,28 et 0,3. En calculant la moyenne, on trouve 0,2932.

 

Phase 5 (10 minutes)

Il est demandé si on peut calculer la probabilité de gain. Rapidement, il est trouvé que c’est le rapport entre l’aire du petit carré en pointillé sur l’aire du grand carré.
L’aire « de gain » est 272 (50 – 23 = 27 mm) et l’aire « de jeu » est 502.
Donc la probabilité est : p = 272/502= 0,2916.
Lors des essais faits à leur domicile, seuls 2 élèves ont obtenu une fréquence proche de la probabilité théorique. Il faut sans doute remettre en question la manière dont ils ont lâché leur pièce sur le damier.

Conclusion

Les élèves ont découvert que le hasard n’est pas une notion étrangère aux mathématiques (une élève ne s’est-elle pas exclamée : « Alors les maths peuvent étudier le hasard ? »).
C’est une activité qui permet d’appréhender la notion de fluctuation d’échantillonnage. À partir d’une activité où les élèves manipulent, il a été constaté qu’il est impossible de conclure de manière satisfaisante sur les chances de gagner. Il n’a été possible de conclure qu’en utilisant un outil informatique qui peut, en moins d’une minute, effectuer près de 1 000 lancers.
La classe a été beaucoup plus sensibilisée en manipulant puis en simulant par l’outil informatique. Si le calcul de probabilité avait été proposé directement, ce calcul aurait été plus abstrait et moins formateur.

Pour en savoir plus (sur le site compagnon)

Quelques liens en relation avec l’activité « Franc carreau »

Pour retrouver le fichier Cabri II plus ainsi que le protocole de construction :
http://www.ac-limoges.fr/maths_sciences/spip.php?rubrique122

On peut consulter sur le site de la revue MathémaTICE, le numéro 9 de mars 2008, à la rubrique « Exemple de ressource du cédérom ». Sur ce site, on peut télécharger deux programmes pour les machines à calculer TI 76, 82, 83, 84.
http://revue.sesamath.net/spip.php?article132

Le site de l’IREM de Franche-Comté :
http://www-irem.univ-fcomte.fr/bulletins/067/067-article1-franc-carreau.html

Le site de l’IREM d’Aix-Marseille :
http://www.irem.univ-mrs.fr/activites/lycee/lystat40.php

Le site du lycée d’Authie dans l’académie d’Amiens. Dans les fichiers Excel apparaît la stabilisation des fréquences. C’est un peu long, mais instructif :
http://etablissements.ac-amiens.fr/0801900f/spip.php?article217http://etablissements.ac-amiens.fr/0801900f/spip.php?article217