Probabilités

Vous êtes iciProbabilités > Repères > Comprendre et quantifier
Probabilités

Comprendre ce qu’est une probabilité et la quantifier

 

Au jeu de pile ou face, on dit couramment : « une chance sur deux » de faire pile, ou même « un coup sur deux, on fait pile » ; mais cela ne signifie pas, bien sûr, qu'en deux coups on fasse nécessairement une fois pile. Quel en est alors le sens ?
Prenons l’exemple de tirages à pile ou face. La moyenne statistique est ici  le nombre de piles obtenu divisé par le nombre de lancers. La probabilité correspond à la « tendance » de cette moyenne statistique quand le nombre de lancers augmente indéfiniment. Dire que la probabilité d’obtenir un pile est de ½ signifie que la moyenne statistique oscille autour de ½ ; et qu’elle en est d’autant plus proche que le nombre de lancers est grand : c’est la loi des grands nombres.


Si on refait l'expérience avec le tirage d'un as (le un) au jeu de dés, cette fois-ci la moyenne de tirage d'un as oscille autour de 1/6.

Voir l’animation « Lancer d’un dé ».

C'est ainsi que seront définies les probabilités : on constate que lorsque le nombre de tirages devient de plus en plus grand, les moyennes statistiques se stabilisent autour d'une valeur limite. Cette valeur limite est la probabilité p.

Généralisons : quand un événement (tirer pile, tirer les trois chevaux gagnants dans l'ordre au tiercé, etc.) peut soit se produire, soit ne pas se produire, à chaque essai on marque 1 en cas de réussite et 0 sinon. La moyenne statistique est la somme des 1 (ou leur nombre) divisée par le nombre d'essais ; elle tend, quand le nombre d'essais augmente, vers la probabilité.

Il est alors clair que la moyenne statistique, donc la probabilité, est  toujours comprise entre 0 et 1. En effet, il y a nécessairement moins (ou autant) d'événements qui réussissent que d'événements totaux ; or le quotient d'un nombre par un nombre plus grand (ou égal) est plus petit que 1 (ou égal).

Si p est voisin de 1, presque tous les événements sont réussis. On dira que l'événement est presque certain. Si p est voisin de 0, presque aucun ne réussit, on dira qu'il est presque impossible.

Notion de statistique significative ou non

On a vu au jeu de pile et face que la moyenne statistique variait avec le nombre d’essais. Dès que le nombre d'essais est suffisamment grand, cette moyenne tend à se fixer et c'est seulement alors qu'elle peut définir la probabilité. Si le nombre d'essais est trop petit on dit que la statistique est non significative.  On dit « qu'elle ne prouve rien ».

Prenons un exemple en biologie. Quand la paire de chromosomes sexuels (XX pour les femmes, XY pour les hommes) se scinde dans les cellules germinales, les femmes produisent toujours des ovules comportant un chromosome X, et les hommes des spermatozoïdes comportant pour la moitié d’entre eux un chromosome X, et pour l’autre moitié un chromosome Y. Le résultat ? Les cellules de l'embryon, qui proviennent de la rencontre entre un spermatozoïde et un ovule, portent avec la même probabilité XX ou XY. Il y a donc en moyenne autant1 de garçons que de filles à la naissance. Bien sûr, deux enfants d'une famille ne sont pas nécessairement garçon et fille. Pour être significative d'une probabilité, la moyenne statistique doit être prise sur toute une population2.


Si on fait calculer à la classe sa moyenne en garçons et filles, puis les moyennes en ajoutant tous les frères et sœurs, on obtient alors un résultat plus significatif.
Et le nombre de maîtres et de maîtresses dans l'école ? La moyenne est-elle significative ? Si oui, que conclure du point de vue sociologique ? En d'autres termes, avant de se livrer à des conclusions sociologiques (ici, féminisation des professions), il faut éviter les biais d'une statistique insuffisante.

Hubert Krivine,
maître de conférences honoraire
à l'université Pierre-et-Marie-Curie

 


1 En fait, pour des raisons encore peu claires, il y a très légèrement plus de garçons à la naissance (en France, 105 garçons pour 100 filles).
2 On sait déterminer la taille minimum des échantillons pour qu'ils soient significatifs ; nous ne traiterons pas cette question qui nécessite un peu de mathématiques.